1

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Ⅳ- 2. 일차함수와 그래프 (2)

일차함수 [eqn: y= {b} over {a} x+ {c} over {b}]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
[eqn: y=- {a} over {c} x- {c} over {b}]의 그래프가 지나지 않는 사분면을 말하시오.	(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

2

좌표평면에서 세 점 [eqn: (`0,~4),~(a,~0)], [eqn: (b,~6)]을 지나는 일차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 6]이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 기울기가 양수일 때, [eqn: a,~b]의 값을 구하시오.

3

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]에서 만나는 두 일차함수 [eqn: y=- {2} over {3} x+6],
[eqn: y=ax+b]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 할 때, [eqn: rm {bar{MO}} : {bar{NO}} =3:2]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

4

일차함수의 그래프를 그리는데 종수는 기울기를 잘못 보고 그려서 두 점 [eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~-2)]를 지나는 직선을 그렸고, 일우는 [eqn: y]절편을 잘못 보고 그려서 두 점 [eqn: (0,~-2)], [eqn: (3,~2)]를 지나는 직선을 그렸다. 바르게 그린 일차함수의 그래프가 점 [eqn: (-6,~k)]를 지날 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

5

예지와 현욱이는 마라톤 대회에 함께 참가하였다. 예지가 먼저 출발하고 [eqn: 25]분 뒤에 현욱이가 출발하였더니 동시에 골인 지점에 도착하였다. 현욱이가 출발한 후 [eqn: x]분이 지났을 때 예지가 현욱이보다 앞선 거리를 [eqn: y`rmm]라 하면 [eqn: y=5000-50x]가 성립한다. 마라톤 코스의 전체 거리를 구하시오.	(단, 두 사람의 속력은 일정하다.)

6

[eqn: rmA]호스에서는 [eqn: 3]분에 [eqn: 2`rmL]씩, [eqn: rmB]호스에서는 [eqn: 5]분에 [eqn: 4`rmL]씩 물이 나오고, [eqn: 100rm`L]를 채울 수 있는 물탱크에 [eqn: 4rm`L]의 물이 들어 있다. 이 물탱크에 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 개의 호스로 물을 채우다가 [eqn: 70rm`L]가 차면 [eqn: rmA]호스만을 사용하여 물을 채운다고 한다. 물탱크에 물이 가득 찰 때까지 걸린 시간을 구하시오.

<정답 및 풀이>

Ⅳ- 2. 일차함수와 그래프 (2)

1 제 [eqn: 3] 사분면	2 [eqn: a = -3], [eqn: b = 3 over 2]

3 [eqn: a = 4 over 9], [eqn: b = - 4]	4 [eqn: 5]	5 [eqn: 25 rm`km]	6 [eqn: 90]분

1    제 [eqn: 3] 사분면

주어진 그래프의 기울기가 음수이므로   [eqn: {b} over {a} <0]

[eqn: y]절편이 음수이므로   [eqn: {c} over {b} <0]

따라서 [eqn: {b} over {a} <0], [eqn: {c} over {b} <0]이므로 [eqn: a], [eqn: b]와 [eqn: b], [eqn: c]는 서로 다른 부호이다.

즉 [eqn: a], [eqn: c]는 같은 부호이므로 [eqn: - {a} over {c} <0]이고, [eqn: - {c} over {b} >0]이다.

따라서 일차함수 [eqn: y=- {a} over {c} x- {c} over {b}]의 그래프는 기울기가 음수이고, [eqn: y]절편이 양수이므로 제 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4] 사분면을 지나고 제 [eqn: 3] 사분면을 지나지 않는다.

2    [eqn: a= - 3], [eqn: b = 3 over 2]

세 점 [eqn: LEFT ( 0,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( b,~6 RIGHT )]을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기가 양수이려면 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 이 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형은 밑변의 길이가 [eqn: -a]이고, 높이가 [eqn: 4]인 직각삼각형이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( -a RIGHT ) TIMES 4=6]   [eqn: THEREFORE `a=-3]

따라서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 기울기는 [eqn: {4} over {3}]이고, [eqn: y]절편이 [eqn: 4]이므로     [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {3} x+4]

이 함수의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( b,~6 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 6= {4} over {3} TIMES b+4]   [eqn: THEREFORE `b= {3} over {2}]

3    [eqn: a = 4 over9], [eqn: b = - 4]

함수 [eqn: y=- {2} over {3} x+6]의 그래프의 [eqn: x]절편은 [eqn: 9]이므로 [eqn: y=ax+b]의 그래프의 [eqn: x]절편도 [eqn: 9]이다.

함수 [eqn: y=- {2} over {3} x+6]의 그래프의 [eqn: y]절편은 [eqn: 6]이므로 [eqn: {bar{rm MO it}} =6]이고,

[eqn: rm {bar{MO}} : {bar{NO}} =3:2]이므로 [eqn: {bar{rm NO it}} = 4]이다.

즉 [eqn: y=ax+b]의 그래프의 [eqn: y]절편이 [eqn: -4]이므로   [eqn: b=- 4]

따라서 [eqn: y=ax+b]의 그래프의 [eqn: x]절편이 [eqn: 9], [eqn: y]절편이 [eqn: -4]이므로 기울기는   [eqn: a= {-4-0} over {0-9} = {4} over {9}]

4    [eqn: 5]

종수는 기울기를 잘못 보고 직선을 그렸으므로 [eqn: y]절편은 바르게 보았다. 종수가 그린 직선의 기울기는

[eqn: -2-3 over 3-2 =-5]

일차함수의 식을 [eqn: y = -5x+b]라 하면 그래프가 점 [eqn: (2,~3)]을 지나므로

[eqn: 3= -5 times 2 +b]   [eqn: therefore~b =13]

일우는 [eqn: y]절편을 잘못 보고 직선을 그렸으므로 기울기는 바르게 보았다. 일우가 그린 직선의 기울기는

[eqn: {2-(-2)} over {3-0} = {4} over {3}]

따라서 일차함수 [eqn: y = 4 over 3 x+ 13]의 그래프가 점 [eqn: (-6,~k)]를 지나므로

[eqn: k = 4 over 3 times (-6) +13=5]

5    [eqn: 25 rm`km]

[eqn: y = 5000- 50x]에서 [eqn: x=100]일 때 [eqn: y=0]이므로 현욱이가 출발한 후 [eqn: 100]분이 되었을 때 두 사람의 거리의 차가 [eqn: 0]이다. 즉 [eqn: 100]분 후에 두 사람이 동시에 골인 지점에 도착했다.

또한 [eqn: x=0]일 때 [eqn: y=5000]이므로 예지가 혼자 [eqn: 25]분간 달린 거리가 [eqn: 5000rm`m]이므로 예지의 속력은

[eqn: 5000 over 25 = 200]([eqn: rmm]/분)

예지가 총 달린 시간이 [eqn: 125]분이므로 이 마라톤 코스의 전체 거리는

[eqn: 200 TIMES 125=25000 LEFT ( rmm RIGHT ) =25 LEFT ( km RIGHT )]

6    [eqn: 90]분

[eqn: rmA]호스에서는 [eqn: 3]분에 [eqn: 2 rm`L]씩 물이 나오므로 [eqn: 1]분에 [eqn: 2 over 3 rm`L]씩 물이 나오고, [eqn: rmB]호스에서는 [eqn: 5]분에 [eqn: 4 rm`L]씩 물이 나오므로 [eqn: 1]분에 [eqn: 4 over 5 rm`L]씩 물이 나온다.

[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 개의 호스로 물을 채울 때, 물을 채우기 시작한 지 [eqn: x]분 후의 물의 양을 [eqn: y rm`L]라 하면

[eqn: y = left( 2 over 3 + 4 over 5 right)x +4]   [eqn: therefore~y = 22 over 15 x +4]

[eqn: y = 70]을 [eqn: y = 22 over 15 x + 4]에 대입하면

[eqn: 70 = 22 over 15 x +4]   [eqn: therefore~x = 45]

[eqn: 70`rmL]를 채운 후 [eqn: rmA]호스만을 사용하여 물을 채우기 시작한 지 [eqn: x]분 후의 물의 양을 [eqn: y rm`L]라 하면

[eqn: y = 2 over3 x +70]

[eqn: y = 100]을 [eqn: y = 2 over 3 x + 70]에 대입하면

[eqn: 100 = 2 over 3 x+ 70]   [eqn: therefore~x=45]

따라서 [eqn: 45+45=90](분) 후에 물탱크에 물이 가득 찬다.